3장 Spectrum Representation(2)_ 스펙트럼 해석 / 음의 주파수 / 사인의 스펙트럼 / 그래픽 스펙트럼 / 스펙트럼 → 사인파 / 스펙트럼 구성요소의 합

LECTURE OBJECTIVES

• Sinudoids with DIFFERENT Frequencies
  • SYNTHESIZE by Adding Sinusoids

$x(t)=\sum_{k=1}^{N}A_{k}cos(2\pi{\color{Red}f_{k}}t+\varphi_{k})$

• SPECTRUM Representation
  • Graphical Form shows DIFFERENT Freqs

주파수가 다른 사인파 : 합하여 합성
그래프 형식은 다른 주기를 나타낸다.

 

MOTIVATION

• Synthesize Complicated Signals
  • Human Speech
    • Vowels have dominant frequencies
    • Application : computer generated speech
  • Can all signals be generated this way?
    • Sum of sinusoids?

복잡한 신호의 합성
- 인간의 음성
- - 모음에는 지배적인 주파수가 있음. / 응용 프로그램: 컴퓨터에 의해 생성된 음성
- 모든 신호를 이렇게 생성할 수 있나?
- - 사인파의 합?

 

SPECTRUM Interpretation

• Cosine = sum of 2 complex exponentials :

하나는 양의 주파수, 다른 하나는 음의 주파수입니다. 각각의 진폭은 절반만큼 큽니다

 

MEGATIVE FREQUENCY

• Is negative frequency real?
• Doppler Radar provides an example
  • Police radar measures speed by using the Doppler shift principle
  • Let’s assume 400Hz ↔ 60 mph
  • +400Hz means towards the radar
  • -400Hz means away (opposite direction)
  • Think of a train whistle

경찰 레이더는 도플러 시프트 원리를 사용하여 속도를 측정함.
400Hz ↔ 60mph라고 가정.
+400Hz는 레이더 방향을 의미함.
-400Hz는 떨어져 있음을 의미함.(반대방향)
기차의 기적을 생각하기.

 

SPECTRUM of SINE

• Sine = sum of 2 complex exponentials:

$Asin(7t)=\frac{A}{2j}e^{j7t}-\frac{A}{2j}e^{-j7t}=\frac{1}{2}Ae^{-j0.5\pi}e^{j7t}+\frac{1}{2}Ae^{j0.5\pi}e^{-j7t}\\-\frac{1}{j}=j=e^{j0.5\pi}$

• Positive freq. has phase = $-0.5\pi$
• Negative freq. has phase = $+0.5\pi$

 

GRAPHICAL SPECTRUM

EAMPLE of SINE

AMPLITUDE, PHASE & FREQUENCY are shown

 

SPECTRUM → SINUSOID

• Add the spectrum components :

what is the formular for the signal x(t)?

 

Gather $(A, \omega , \phi )$ information

DC는 제로 주파수 구성 요소의 다른 이름입니다

• DC is another name for zero-freq component
• DC component always has $\phi =0 $ (for real $X(t)$)

 

Add Spectrum Components

 

Simplify Components

Use Euler's Formula to get REAL sinusoids :

$Acos(\omega t+\varphi )=\frac{1}{2}Ae^{-j\varphi }e^{j\omega t}+\frac{1}{2}Ae^{-j\varphi }e^{j\omega t}$

 

FINAL ANSWER

So, we get the general form:

$x(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{N}A_{k}cos(2\pi f_{k}t+\varphi _{k})$

 

Summary : GENERAL FORM

$\\x(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{N}A_{k}cos(2\pi f_{k}t+\varphi _{k})
\\x(t)=X_{0}+\sum_{k=1}^{N}\Re \left\{X_{k}e^{j2\pi f_{k}t} \right\}$

$\\x(t)=X_{0}+\sum_{k=1}^{N}\left\{\frac{1}{2}X_{k}e^{j2\pi f_{k}t}+\frac{1}{2}X_{k}e^{-j2\pi f_{k}t} \right\}$